Optimization Basics — Optimization & Simulation

1 Objective & Constraints

Overview 개요

Optimization(최적화)은 바꿀 수 있는 숫자, 줄이려는 값, 지켜야 할 조건을 함께 정하는 문제다. 가벼운 트러스라도 처짐 조건을 넘으면 선택할 수 없다.

기호: A는 부재 단면적, m은 질량, δ는 모든 절점 자유도에서 가장 큰 변위 절댓값이다.

Concept 개념

직접 강성법은 각 부재의 축 강성을 전체 행렬 K에 조립하고, 지점의 고정 자유도를 제외한 뒤 Ku=F를 푼다. 부재 길이 L, 방향 코사인 c·s, 탄성계수 E가 강성을 결정한다.

두 단면적 A₁·A₂만 바꾸고 나머지 15개 부재는 5 cm²로 고정한다. 질량은 무게의 지표이며 단위는 kg다. 처짐 한계는 정한 값 9 mm다. 해칭된 영역은 이 한계를 넘는다.

핀 접합, 선형 탄성, 작은 변형, 축력만을 가정한다. 좌굴·접합부·비선형 거동은 계산하지 않으므로 구조 설계의 안전 판정에 쓸 수 없다.

$$m(\mathbf A)=\rho\sum_e A_eL_e,\quad K_{ff}u_f=F_f,\quad \min m\;\;\mathrm{s.t.}\;\delta\le9\,\mathrm{mm}$$

Hands-on 체험

Objective & Constraints

LIVE / SEEDED

지도의 점을 끌거나 단면적 슬라이더를 바꾼다. 실선은 δ=9 mm의 격자 보간 경계다.

대기 중

표시값은 반올림했다. 계산에는 전체 정밀도를 사용한다.

Summary 정리

목적 함수와 제약은 서로 다른 역할을 한다.
가능 영역 안에서만 목적값을 비교한다.
단면적을 늘리면 질량과 강성이 함께 증가한다.

Notation 기호

기호	뜻	단위
A	부재 단면적	cm²
m	질량	kg
δ	최대 절댓값 변위	mm
E	탄성계수	GPa

References 참고문헌

Turner, Clough, Martin & Topp (1956). Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures. Journal of the Aeronautical Sciences.

2 Gradient Descent

Overview 개요

Gradient descent(경사하강법)은 현재 위치의 기울기 반대 방향으로 이동한다. 같은 트러스 지도에서 시작점과 이동 크기를 바꾸며 경로를 비교한다.

기호: m은 kg 단위 질량, δ는 mm 단위 변위, η는 이동 크기, λ는 벌점 계수다.

Concept 개념

질량을 200 kg으로 나누고 처짐 위반 비율의 제곱을 더해 무차원 목적 J를 만든다. 벌점이 작으면 더 가벼운 불가능 해가 선택될 수 있다.

기울기는 중앙차분으로 계산한다. 단면적 범위를 벗어난 이동은 1–16 cm² 경계로 투영한다. 이동 크기가 크면 경계 사이를 오가거나 목적값이 증가할 수 있다.

이 체험의 단면적 문제는 지역 최솟값이 많다는 증거를 제공하지 않는다. 일반적인 비볼록 문제에서는 시작점에 따라 다른 해로 갈 수 있으며, 여기서는 이동 크기와 제약 처리의 효과를 관찰한다.

$$J=\frac{m}{200\,\mathrm{kg}}+\lambda\max(0,\delta/\delta_{lim}-1)^2,\quad A^{k+1}=\Pi_{[1,16]}(A^k-\eta\nabla J)$$

Hands-on 체험

Gradient Descent

LIVE / SEEDED

원은 시작점, 사각형은 70회 이동 뒤 위치다. 그래프의 목적값은 벌점을 포함한다.

대기 중

표시값은 반올림했다. 계산에는 전체 정밀도를 사용한다.

Summary 정리

유한한 벌점은 제약 만족을 보장하지 않는다.
큰 이동 크기가 빠른 수렴을 보장하지 않는다.
종료점의 처짐과 목적값을 함께 확인한다.

Notation 기호

기호	뜻	단위
η	이동 크기	cm⁴
λ	벌점 계수	—
J	정규화 목적값	—

References 참고문헌

3 Evolutionary Algorithms

Overview 개요

Genetic algorithm(유전 알고리즘)은 여러 설계안을 유지하며 선택·교차·변이를 반복한다. 17개 단면적을 동시에 조절해 질량을 줄인다.

기호: P는 개체 수, G는 세대 수, pₘ은 변수별 변이 확률이다.

Concept 개념

두 개체의 토너먼트 선택, 실수 선형 교차, 균등 재표본 변이를 사용한다. 현재 최고 개체 1개는 다음 세대에 남긴다. 따라서 최고 목적값은 증가하지 않지만 평균값은 오를 수 있다.

목적값은 질량에 처짐 9 mm와 응력 250 MPa 초과의 제곱 벌점을 더한다. 두 한계와 벌점 2,000은 정한 값이며 실제 허용 기준이 아니다.

무작위 탐색도 같은 횟수만큼 강성 해석을 수행한다. 세대 수가 같아도 개체 수가 다르면 계산량은 다르므로 비교의 가로축은 평가 횟수다.

$$F=m+2000\max(0,\delta/9-1)^2+2000\max(0,\sigma_{max}/250-1)^2$$

Hands-on 체험

Evolutionary Algorithms

LIVE / SEEDED

실선: GA 최고, 점선: GA 평균, 점선·점 표식: 같은 평가 횟수의 무작위 최고다.

대기 중

표시값은 반올림했다. 계산에는 전체 정밀도를 사용한다.

Summary 정리

같은 계산 예산에서 비교한다.
변이는 다양성을 만들고 선택은 좋은 안을 남긴다.
탐색 결과는 전역 최적해 증명이 아니다.

Notation 기호

기호	뜻	단위
P	개체 수	—
G	세대 수	—
σ	축응력	MPa

References 참고문헌

4 Multi-objective & Pareto

Overview 개요

Pareto dominance(파레토 지배)는 모든 목표가 나쁘지 않고 하나 이상 더 좋을 때 성립한다. 질량과 처짐을 함께 줄이는 안들 사이에는 서로 양보해야 하는 부분이 생긴다.

기호: f₁=m, f₂=δ이며 두 목표 모두 작을수록 좋다.

Concept 개념

NSGA-II(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II)는 비지배 순위와 crowding distance로 개체를 고른다. 부모·자손을 합친 뒤 좋은 순위와 넓은 분포를 우선 보존한다.

교차는 SBX, 변이는 polynomial mutation을 사용한다. 탐색 뒤의 비지배 집합은 유한 표본에서의 근사 전선이며 실제 전선과 다를 수 있다.

빈 마름모는 현재 표본집합에서 어떤 비음수 가중합으로도 최소가 되지 않는 점이다. 모든 가중치 구간의 선형 부등식을 검사한다. 원래 연속 설계 공간 전체에 대한 판정은 아니다.

$$\min_{\mathbf A}\;(m(\mathbf A),\delta(\mathbf A)),\quad f_w=w f_1+(1-w)f_2,\quad 0\le w\le1$$

Hands-on 체험

Multi-objective & Pareto

LIVE / SEEDED

점을 누르거나 선택 번호를 바꾼다. 이 탭은 두 목표의 교환 관계를 보이며 응력 제약은 적용하지 않는다.

대기 중

표시값은 반올림했다. 계산에는 전체 정밀도를 사용한다.

Summary 정리

비지배 집합 안에서도 한 점이 모두에게 최선은 아니다.
가중합은 비볼록 전선의 일부를 놓칠 수 있다.
점을 선택해 단면적과 트러스 형태를 확인한다.

Notation 기호

기호	뜻	단위
w	가중치	—
f₁	질량 목표	kg
f₂	변위 목표	mm